3 research outputs found
Minimal induced subgraphs of the class of 2-connected non-Hamiltonian wheel-free graphs
Given a graph and a graph property we say that is minimal with
respect to if no proper induced subgraph of has the property . An
HC-obstruction is a minimal 2-connected non-Hamiltonian graph. Given a graph
, a graph is -free if has no induced subgraph isomorphic to .
The main motivation for this paper originates from a theorem of Duffus, Gould,
and Jacobson (1981), which characterizes all the minimal connected graphs with
no Hamiltonian path. In 1998, Brousek characterized all the claw-free
HC-obstructions. On a similar note, Chiba and Furuya (2021), characterized all
(not only the minimal) 2-connected non-Hamiltonian -free graphs. Recently, Cheriyan, Hajebi, and two of us (2022),
characterized all triangle-free HC-obstructions and all the HC-obstructions
which are split graphs. A wheel is a graph obtained from a cycle by adding a
new vertex with at least three neighbors in the cycle. In this paper we
characterize all the HC-obstructions which are wheel-free graphs
Structural and Topological Graph Theory and Well-Quasi-Ordering
Στη σειρά εργασιών Ελασσόνων Γραφημάτων, οι Neil Robertson και Paul Seymour
μεταξύ άλλων σπουδαίων αποτελεσμάτων, απέδειξαν την εικασία του Wagner που σήμερα
είναι γνωστή ως το Θεώρημα των Robertson και Seymour.
Σε κάθε τους βήμα προς την συναγωγή της τελικής απόδειξης
της εικασίας, κάθε ειδική περίπτωση αυτής που αποδείκνυαν ήταν συνέπεια ενός "δομικού θεωρήματος"
το οποίο σε γενικές γραμμές ισχυριζόταν ότι ικανοποιητικά γενικά γραφήματα περιέχουν ως ελάσσονα γραφήματα
ή άλλες δομές που είναι χρήσιμα για την απόδειξη, ή ισοδύναμα, ότι η δομή των
γραφημάτων τα οποία δεν περιέχουν ένα χρήσιμο για την απόδειξη γράφημα ως έλασσον
είναι κατά κάποιο τρόπο περιορισμένη συνάγοντας έτσι και πάλι μια χρήσιμη πληροφορία για την απόδειξη.
Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζουμε -σχετικά μικρές- αποδείξεις διαφόρων ειδικών περιπτώσεων του Θεωρήματος των Robertson και Seymour,
αναδεικνύοντας με αυτό τον τρόπο την αλληλεπίδραση της δομικής θεωρίας γραφημάτων με την θεωρία των
καλών-σχεδόν-διατάξεων.
Παρουσιάζουμε ακόμα την ίσως πιο ενδιαφέρουσα ειδική περίπτωση του Θεωρήματος των Robertson και Seymour,
η οποία ισχυρίζεται ότι η εμβαπτισιμότητα
σε κάθε συγκεκριμένη επιφάνεια δύναται να χαρακτηριστεί μέσω της απαγόρευσης πεπερασμένων το πλήθος γραφημάτων
ως ελάσσονα. Το τελευταίο αποτέλεσμα συνάγεται ως ένα αποτέλεσμα της θεωρίας των καλών-σχεδόν-διατάξεων
αναδεικνύοντας με αυτό τον τρόπο την αλληλεπίδρασή της με την τοπολογική θεωρία γραφημάτων. Τέλος, σταχυολογούμε
αποτελέσματα αναφορικά με την καλή-σχεδόν-διάταξη κλάσεων γραφημάτων από άλλες -πέραν της
σχέσης έλασσον- σχέσεις γραφημάτων.In their Graph Minors series, Neil Robertson and Paul Seymour among other great results
proved Wagner's conjecture which is today known as the Robertson and Seymour's theorem.
In every step along their way to the final proof, each special case of the conjecture which they were proving
was a consequence of a "structure theorem", that sufficiently general graphs contain
minors or other sub-objects that are useful for the proof - or equivalently,
that graphs that do not contain a useful minor have a certain restricted structure, deducing that way also a useful information for the proof.
The main object of this thesis is the presentation of -relatively short-
proofs of several Robertson and Seymour's theorem's special cases, illustrating by this way the interplay between
structural graph theory and graphs' well-quasi-ordering.
We present also the proof of the perhaps most important special case of the Robertson and Seymour's theorem
which states that embeddability in any fixed surface can be characterized by forbidding finitely many minors.
The later result is deduced as a well-quasi-ordering result,
indicating by this way the interplay among topological graph theory and well-quasi-ordering theory.
Finally, we survey results regarding the well-quasi-ordering of graphs by other than the minor graphs' relations
Minimal induced subgraphs of the class of 2-connected non-Hamiltonian wheel-free graphs
Given a graph G and a graph property P we say that G is minimal with respect to P if no proper induced subgraph of G has the property P. An HC-obstruction is a minimal 2-connected non-Hamiltonian graph. Given a graph H, a graph G is H-free if G has no induced subgraph isomorphic to H. The main motivation for this paper originates from a theorem of Duffus, Gould, and Jacobson (1981), which characterizes all the minimal connected graphs with no Hamiltonian path. In 1998, Brousek characterized all the claw-free HC-obstructions. On a similar note, Chiba and Furuya (2021), characterized all (not only the minimal) 2-connected non-Hamiltonian -free graphs. Recently, Cheriyan, Hajebi, and two of us (2022), characterized all triangle-free HC-obstructions and all the HC-obstructions which are split graphs. A wheel is a graph obtained from a cycle by adding a new vertex with at least three neighbors in the cycle. In this paper we characterize all the HC-obstructions which are wheel-free graphs.Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada (NSERC), RGPIN-2020-0391